복소수의 근 추출

이 간행물에서는 복소수의 근을 구하는 방법과 판별식이 XNUMX보다 작은 이차 방정식을 푸는 데 이것이 어떻게 도움이 되는지 살펴보겠습니다.

복소수의 근 추출

제곱근

우리가 알다시피, 음의 실수의 근을 취하는 것은 불가능합니다. 그러나 복소수의 경우 이 작업을 수행할 수 있습니다. 알아봅시다.

우리에게 번호가 있다고 가정 해 봅시다. z = -9. 용 √-9 두 가지 뿌리가 있습니다.

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

방정식을 풀어서 얻은 결과를 확인합시다 z² = -9, 그것을 잊지 않고 i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ 나는² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ 나는² = 9 ⋅ (-1) = -9

따라서 우리는 다음을 증명했습니다. -3i и 3i 뿌리다 √-9.

음수의 근은 일반적으로 다음과 같이 작성됩니다.

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i 등

n의 제곱근

다음 형식의 방정식이 주어졌다고 가정합니다. 지 = ⁿ√w… 있다 n 뿌리(z₀의₁의₂,…, 지_n-1), 아래 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

|ㅁ| 복소수의 모듈입니다 w;

φ – 그의 주장

k 값을 취하는 매개변수입니다. k = {0, 1, 2,…, n-1}.

복소수 근이 있는 이차 방정식

음수의 근을 추출하면 uXNUMXbuXNUMXb의 일반적인 아이디어가 바뀝니다. 판별식(D)가 XNUMX보다 작으면 실수근이 있을 수 없지만 복소수로 나타낼 수 있습니다.

예

방정식을 풀자 x² – 8배 + 20 = 0.

해법

a = 1, b = -8, c = 20

디 = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, 그러나 우리는 여전히 음의 판별자의 뿌리를 취할 수 있습니다.

√D = √-16 = ±4i

이제 근을 계산할 수 있습니다.

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8±4i)/2 = 4 ± 2i.

따라서 방정식 x² – 8배 + 20 = 0 두 개의 복소수 켤레근이 있습니다.

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i