기능의 한계는 무엇입니까

이 간행물에서 우리는 수학적 분석의 주요 개념 중 하나인 함수의 한계를 고려할 것입니다. 함수의 정의와 실용적인 예가 있는 다양한 솔루션입니다.

함수의 한계 결정

기능 제한 – 이 함수의 인수가 한계점에 도달할 때 이 함수의 값이 향하는 값.

제한 기록:

• 한계는 아이콘으로 표시됩니다. 임;
• 그 아래에는 함수의 인수(변수)가 경향이 있는 값이 추가됩니다. 일반적으로 이 x, 하지만 반드시 그런 것은 아닙니다. 예를 들면 다음과 같습니다.x→1″;
• 그러면 함수 자체가 오른쪽에 추가됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

  

따라서 제한의 최종 레코드는 다음과 같습니다(우리의 경우).

다음과 같이 읽습니다. "x가 XNUMX이 되는 경향이 있는 함수의 극한".

x→ 1 – 이것은 "x"가 지속적으로 XNUMX에 무한하게 접근하지만 결코 일치하지 않는 값을 취한다는 것을 의미합니다(도달되지 않을 것입니다).

결정 한계

주어진 번호로

위의 극한을 풀자. 이렇게 하려면 함수에서 단위를 대체하면 됩니다(왜냐하면 x→1):

따라서 극한을 해결하기 위해 먼저 주어진 숫자를 그 아래의 함수로 간단히 대체하려고 시도합니다(x가 특정 숫자로 가는 경향이 있는 경우).

무한대로

이 경우 함수의 인수는 무한히 증가합니다. 즉, "X" 무한대(∞) 경향이 있습니다. 예를 들어:

If x→∞이면 주어진 함수는 마이너스 무한대(-∞)가 되는 경향이 있습니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

• 3-1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 등

더 복잡한 또 다른 예

이 한계를 해결하기 위해 또한 단순히 값을 증가 x 이 경우 함수의 "동작"을 살펴보십시오.

• RџS‚Rё x = 1, y = 1.² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџS‚Rё x = 10, y = 10.² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџS‚Rё x = 100, y = 100.² + 3 · 100 – 6 = 10294

따라서 "X"무한대로의 경향, 함수 x² +3x -6 무한히 자랍니다.

불확실성(x는 무한대 경향이 있음)

이 경우 함수가 분수이고 분자와 분모가 다항식인 극한에 대해 이야기하고 있습니다. 어디에서 "X" 무한에 가깝습니다.

예: 아래에서 한계를 계산해 봅시다.

해법

분자와 분모의 식은 무한대가 되는 경향이 있습니다. 이 경우 솔루션은 다음과 같다고 가정할 수 있습니다.

그러나 모든 것이 그렇게 간단하지는 않습니다. 한계를 해결하려면 다음을 수행해야 합니다.

1. 찾기 x 분자에 대한 가장 높은 거듭제곱(우리의 경우에는 XNUMX)입니다.

2. 유사하게, 우리는 x 분모에 대한 가장 높은 거듭제곱(또한 XNUMX와 같음).

3. 이제 분자와 분모를 다음과 같이 나눕니다. x 수석 학위에서. 우리의 경우 두 경우 모두 – 두 번째 경우이지만 서로 다른 경우 가장 높은 학위를 받아야 합니다.

4. 결과 결과에서 모든 분수는 1이 되는 경향이 있으므로 답은 2/XNUMX입니다.

불확실성이 있는 경우(x는 특정 숫자로 가는 경향이 있음)

분자와 분모는 모두 다항식이지만, "X" 무한대가 아닌 특정 숫자를 지향합니다.

이 경우 분모가 XNUMX이라는 사실에 조건부로 눈을 감습니다.

예: 아래에서 함수의 극한을 찾아보자.

해법

1. 먼저 숫자 1을 함수에 대입해 보겠습니다. "X". 우리는 우리가 고려하는 형태의 불확실성을 얻습니다.

2. 다음으로 분자와 분모를 인수분해한다. 이를 위해 적절한 경우 약식 곱셈 공식을 사용할 수 있습니다.

우리의 경우 분자에서 표현의 근(2x² – 5배 + 3 = 0)는 숫자 1과 1,5입니다. 따라서 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 2(x-1)(x-1,5).

분모(x–1) 처음에는 간단합니다.

3. 다음과 같이 수정된 한도를 얻습니다.

4. 분수는 (x–1):

5. 한도에서 얻은 표현식에서 숫자 1을 대체하는 것만 남아 있습니다.