이 간행물에서 우리는 이탈리아 엔지니어 Giovanni Ceva를 기리기 위해 그런 이름을 받은 아핀 기하학의 고전적인 정리 중 하나인 Ceva 정리를 고려할 것입니다. 우리는 또한 제시된 자료를 통합하기 위해 문제를 해결하는 예를 분석할 것입니다.
정리의 진술
주어진 삼각형 ABC, 각 꼭짓점은 반대쪽의 한 점에 연결됩니다.
따라서 우리는 세 개의 세그먼트(에이', BB ' и CC ')라고 불리는 세비안.
이러한 세그먼트는 다음과 같은 경우에만 한 지점에서 교차합니다.
|그리고'| |아니다'| |씨비'| = |기원전'| |옮기다'| |AB'|
정리는 다음과 같은 형식으로도 나타낼 수 있습니다(점이 측면을 나누는 비율이 결정됨).
Ceva의 삼각법 정리
참고: 모든 모서리는 방향이 지정됩니다.
문제의 예
주어진 삼각형 ABC 점이 있는 에게', 비 ' и 씨 ' 측면에 BC, AC и AB, 각각. 삼각형의 꼭짓점은 주어진 점에 연결되고 형성된 선분은 한 점을 통과합니다. 동시에 포인트는 에게' и 비 ' 대응하는 반대편의 중간점에서 찍은 것입니다. 어떤 비율로 포인트를 찾으십시오 씨 ' 측면을 나눕니다 AB.
해법
문제의 조건에 따라 그림을 그려봅시다. 편의를 위해 다음 표기법을 채택합니다.
- AB' = B'C = 에이
- BA' = A'C = b
Ceva 정리에 따라 세그먼트의 비율을 구성하고 허용 된 표기법을 대체하는 것만 남아 있습니다.
분수를 줄이면 다음을 얻습니다.
금후, AC' = C'B, 즉 점 씨 ' 측면을 나눕니다 AB 반으로.
따라서 삼각형에서 세그먼트는 에이', BB ' и CC ' 중위수입니다. 문제를 해결한 후 우리는 그것들이 한 점에서 교차한다는 것을 증명했습니다(모든 삼각형에 유효함).
참고 : Ceva의 정리를 사용하여 삼각형의 한 점에서 이등분선 또는 높이도 교차함을 증명할 수 있습니다.