페르마의 작은 정리

이 간행물에서 우리는 정수 이론의 주요 정리 중 하나를 고려할 것입니다.  페르마의 작은 정리프랑스 수학자 피에르 드 페르마의 이름을 따서 명명되었습니다. 우리는 또한 제시된 자료를 통합하기 위해 문제를 해결하는 예를 분석할 것입니다.

정리의 진술

1. 초기

If p 소수이다 a 로 나눌 수 없는 정수입니다. p그때 a^P-1 - 1 로 나눈 p.

공식적으로 다음과 같이 작성됩니다. a^P-1 ‚ 1 (에 맞서 p).

참고 : 소수는 XNUMX로만 나누어 나머지가 없는 자연수입니다.

예 :

• a = 2
• p = 5
• a^P-1 - 1 = 2^{5 – 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• 번호 15 로 나눈 5 남김없이.

2. 대안

If p 는 소수이고, a 모든 정수, 다음 a^p 비교할만한 a 모듈 p.

a^p ≡ (에 맞서 p)

증거 발견의 역사

피에르 드 페르마는 1640년에 이 정리를 공식화했지만 스스로 증명하지는 않았습니다. 나중에 이것은 독일의 철학자, 논리학자, 수학자 등인 Gottfried Wilhelm Leibniz가 수행했습니다. 그는 출판되지는 않았지만 1683년에 이미 증명을 가지고 있었던 것으로 믿어집니다. 라이프니츠가 이 정리가 이미 공식화되었다는 사실을 모르고 스스로 발견했다는 점은 주목할 만합니다.

이 정리의 첫 번째 증명은 1736년에 출판되었으며 스위스, 독일, 수학자이자 기계공학자인 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)의 것입니다. 페르마의 작은 정리(Fermat's Little Theorem)는 오일러 정리의 특별한 경우입니다.

문제의 예

숫자의 나머지 찾기 2¹² on 12.

해법

숫자를 상상해보자 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 따라서 페르마의 작은 정리에 의해 다음을 얻습니다.

2¹¹ ‚ 2 (에 맞서 11).

금후, 2⋅2¹¹ ‚ 4 (에 맞서 11).

그래서 번호 2¹² 로 나눈 12 나머지는 다음과 같습니다. 4.